EEJJEERRCCIICCIIOOSS MMÓÓDDUULLOO 33
33..11.. EEJJEERRCCIICCIIOOSS LLEEYY SSIIMMPPLLEE
3.1.1. EJERCICIOS Resueltos Ley Simple
Ejercicio 1
Hace tres años se invirtieron 1.000 euros en un depósito bancario que prometía una
rentabilidad del 4% simple anual. Determinar cuál será la cantidad de la que dispondremos hoy.
Solución
0 3
1.000 Cn
i = 4%
El valor final de la inversión lo calcularemos a través de la formula de la capitalización simple:
Cn = C0 . (1 + i . n) = C0 . (1 + 3. i) = 1.000 . (1 + 3 . 0,04) = 1.120 euros
Ejercicio 2
Tenemos una deuda contraída con otra empresa por importe de 100.000 euros, a pagar dentro
de dos años. Si el tipo de interés vigente actualmente en el mercado es del 3% simple anual,
determinar la cantidad que tendríamos que pagar hoy para cancelar dicha deuda.
Solución
0 2
C0 100.000
i = 3%
Para conocer la cantidad a pagar hoy aplicaremos la la ley financiera de descuento simple (que
es la inversa de la ley financiera de capitalización), por lo que:
C0 =
+ )2.03,01
000.100 = 94.339,622 euros
Ejercicio 3
Calcular el valor actual de un capital de 1.500 euros que se encuentra situado en el momento
dos años en lo siguientes casos:
a) tipo de interés simple del 12% anual
b) tipo de interés simple del 6% semestral
c) tipo de interés simple del 3% trimestral
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33..11.. EEJJEERRCCIICCIIOOSS LLEEYY SSIIMMPPLLEE
3.1.1. EJERCICIOS Resueltos Ley Simple
Ejercicio 1
Hace tres años se invirtieron 1.000 euros en un depósito bancario que prometía una
rentabilidad del 4% simple anual. Determinar cuál será la cantidad de la que dispondremos hoy.
Solución
0 3
1.000 Cn
i = 4%
El valor final de la inversión lo calcularemos a través de la formula de la capitalización simple:
Cn = C0 . (1 + i . n) = C0 . (1 + 3. i) = 1.000 . (1 + 3 . 0,04) = 1.120 euros
Ejercicio 2
Tenemos una deuda contraída con otra empresa por importe de 100.000 euros, a pagar dentro
de dos años. Si el tipo de interés vigente actualmente en el mercado es del 3% simple anual,
determinar la cantidad que tendríamos que pagar hoy para cancelar dicha deuda.
Solución
0 2
C0 100.000
i = 3%
Para conocer la cantidad a pagar hoy aplicaremos la la ley financiera de descuento simple (que
es la inversa de la ley financiera de capitalización), por lo que:
C0 =
+ )2.03,01
000.100 = 94.339,622 euros
Ejercicio 3
Calcular el valor actual de un capital de 1.500 euros que se encuentra situado en el momento
dos años en lo siguientes casos:
a) tipo de interés simple del 12% anual
b) tipo de interés simple del 6% semestral
c) tipo de interés simple del 3% trimestral
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Solución a)
0 2
C0 1.500
i = 12%
En este caso el valor actual vendrá dado por la siguiente expresión:
C0 = 2.12,01
500.1
+ = 1.209,677 euros
Solución b)
0 2
C0 1.500
i2 = 6%
En este caso el valor actual vendrá dado por la siguiente expresión:
C0 = 2.2.06,01
500.1
+ =1.209,77 euros
Otra opción para resolver este ejercicio hubiera sido transformar el tipo de interés semestral en
su tipo de interés anual equivalente:
i = ik . k = 0,06 . 2 = 12%
C0 = 2.12,01
500.1
+ =1.209,77 euros
Como podemos observar, la cantidad obtenida coincide con la obtenida en el apartado anterior.
Esto se debe a que ambos tipos de interés son equivalentes.
Solución c)
0 2
C0 1.500
i4 = 3%
Finalmente, en este caso el valor actual vendrá dado por la siguiente expresión:
C0 = 4.2.03,01
500.1
+ = 1.209,677 euros
Otra opción para resolver este ejercicio hubiera sido transformar el tipo de interés semestral en
su tipo de interés anual equivalente:
i = ik . k = 0,03 . 4 = 12%
C0 = 2.12,01
500.1
+ =1.209,77 euros
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0 2
C0 1.500
i = 12%
En este caso el valor actual vendrá dado por la siguiente expresión:
C0 = 2.12,01
500.1
+ = 1.209,677 euros
Solución b)
0 2
C0 1.500
i2 = 6%
En este caso el valor actual vendrá dado por la siguiente expresión:
C0 = 2.2.06,01
500.1
+ =1.209,77 euros
Otra opción para resolver este ejercicio hubiera sido transformar el tipo de interés semestral en
su tipo de interés anual equivalente:
i = ik . k = 0,06 . 2 = 12%
C0 = 2.12,01
500.1
+ =1.209,77 euros
Como podemos observar, la cantidad obtenida coincide con la obtenida en el apartado anterior.
Esto se debe a que ambos tipos de interés son equivalentes.
Solución c)
0 2
C0 1.500
i4 = 3%
Finalmente, en este caso el valor actual vendrá dado por la siguiente expresión:
C0 = 4.2.03,01
500.1
+ = 1.209,677 euros
Otra opción para resolver este ejercicio hubiera sido transformar el tipo de interés semestral en
su tipo de interés anual equivalente:
i = ik . k = 0,03 . 4 = 12%
C0 = 2.12,01
500.1
+ =1.209,77 euros
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Como podemos observar, la cantidad obtenida coincide con la obtenida en el apartado anterior.
Esto se debe a que ambos tipos de interés son equivalentes.
Ejercicio 4
Hemos invertido un total de 6.500 euros en un Fondo de Inversión Garantizado ofrecido por
una institución bancaria desde el 11 de marzo hasta el 24 de agosto. Este fondo promete
generar un interés del 1,375% simple vencido trimestral. Determinar cual será el valor de
nuestra inversión una vez finalizada la misma, en los siguientes casos:
a) el fondo utiliza un sistema "calendario/calendario",
b) el fondo utiliza un sistema "calendario/360",
c) el fondo utiliza un sistema "30/calendario"
d) el fondo utiliza un sistema "30/360"
Nota: Tener en cuenta que la costumbre bancaria no toma en consideración el primer día de la
operación (11 de marzo), mientras que si lo hace en el caso del último día (24 de agosto).
Solución a)
Al trabajar en días, para facilitar los cálculos, en primer lugar transformamos el tipo de interés a
anual:
i = (iK . k) = (0,01375 . 4) = 0,055 = 5,5%
Dibujamos gráficamente la operación:
11-Mz 24-Ag
6.500 C n
i = 5,5%
Aplicando la ley de la capitalización simple y el sistema de cómputo del tiempo
correspondiente:
Cn = C0 . (1 + i . t
365 ) = (6.500) . (1 + 0,055 . 166
365 ) = 6.662,589 euros
Solución b)
Aplicando la ley de la capitalización simple y el sistema de cómputo del tiempo
correspondiente:
Cn = C0 . (1 + i . t
360 ) = (6.500) . (1 + 0,055 . 166
360 ) = 6.664,847 euros
Solución c)
Aplicando la ley de la capitalización simple y el sistema de cómputo del tiempo
correspondiente:
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Esto se debe a que ambos tipos de interés son equivalentes.
Ejercicio 4
Hemos invertido un total de 6.500 euros en un Fondo de Inversión Garantizado ofrecido por
una institución bancaria desde el 11 de marzo hasta el 24 de agosto. Este fondo promete
generar un interés del 1,375% simple vencido trimestral. Determinar cual será el valor de
nuestra inversión una vez finalizada la misma, en los siguientes casos:
a) el fondo utiliza un sistema "calendario/calendario",
b) el fondo utiliza un sistema "calendario/360",
c) el fondo utiliza un sistema "30/calendario"
d) el fondo utiliza un sistema "30/360"
Nota: Tener en cuenta que la costumbre bancaria no toma en consideración el primer día de la
operación (11 de marzo), mientras que si lo hace en el caso del último día (24 de agosto).
Solución a)
Al trabajar en días, para facilitar los cálculos, en primer lugar transformamos el tipo de interés a
anual:
i = (iK . k) = (0,01375 . 4) = 0,055 = 5,5%
Dibujamos gráficamente la operación:
11-Mz 24-Ag
6.500 C n
i = 5,5%
Aplicando la ley de la capitalización simple y el sistema de cómputo del tiempo
correspondiente:
Cn = C0 . (1 + i . t
365 ) = (6.500) . (1 + 0,055 . 166
365 ) = 6.662,589 euros
Solución b)
Aplicando la ley de la capitalización simple y el sistema de cómputo del tiempo
correspondiente:
Cn = C0 . (1 + i . t
360 ) = (6.500) . (1 + 0,055 . 166
360 ) = 6.664,847 euros
Solución c)
Aplicando la ley de la capitalización simple y el sistema de cómputo del tiempo
correspondiente:
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Cn = C0 . (1 + i . t
365 ) = (6.500) . (1 + 0,055 . 163
365 ) = 6.659,651 euros
Solución d)
Aplicando la ley de la capitalización simple y el sistema de cómputo del tiempo
correspondiente:
Cn = C0 . (1 + i . t
360 ) = (6.500) . (1 + 0,055 . 163
360 ) = 6.661,868 euros
Ejercicio 5
Dirigimos una empresa dedicada a la venta de maquina pesada. Hemos realizado una
operación de venta por valor de 1.000.000 de euros, pero nuestro comprador atraviesa
dificultades de liquidez, por lo que nos solicita la opción de pago aplazado. Le ofrecemos tres
posibilidades diferentes de pago aplazado:
a) Entrega de una única cantidad dentro de dos años
b) Entrega de dos cantidades iguales en los momentos 7 y 10 meses respectivamente
c) Entrega de 200.000 euros hoy, 560.000 al cabo de dos años y tres meses, y una cuantía X al
cabo de cuatro años
Determinar el importe de las cantidades a entregar en cada opción si el tipo de interés que
aplica nuestra empresa para compensar los perjuicios ocasionados por el pago aplazado es del
1% simple semestral.
Nota: En cada caso, plantear la equivalencia financiera en el momento que vence el último
pago.
Solución a)
0 n
1.000.000 Cn
i 2 = 1%
Para facilitar los cálculos, en primer lugar transformamos el tipo de interés a anual:
i = (iK . k) = (0,01 . 2) = 0,02 = 2%
La cuantía del capital a pagar en el momento dos años sería:
Cnk = C0 . (1 + ik . n . k) = 1.000.000 . (1+0,02 . 2) = 1.040.000 euros
Solución b)
0 7m 10m
1.000.000 i2 = 1%
α α
} Prestación
} Contraprestación
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365 ) = (6.500) . (1 + 0,055 . 163
365 ) = 6.659,651 euros
Solución d)
Aplicando la ley de la capitalización simple y el sistema de cómputo del tiempo
correspondiente:
Cn = C0 . (1 + i . t
360 ) = (6.500) . (1 + 0,055 . 163
360 ) = 6.661,868 euros
Ejercicio 5
Dirigimos una empresa dedicada a la venta de maquina pesada. Hemos realizado una
operación de venta por valor de 1.000.000 de euros, pero nuestro comprador atraviesa
dificultades de liquidez, por lo que nos solicita la opción de pago aplazado. Le ofrecemos tres
posibilidades diferentes de pago aplazado:
a) Entrega de una única cantidad dentro de dos años
b) Entrega de dos cantidades iguales en los momentos 7 y 10 meses respectivamente
c) Entrega de 200.000 euros hoy, 560.000 al cabo de dos años y tres meses, y una cuantía X al
cabo de cuatro años
Determinar el importe de las cantidades a entregar en cada opción si el tipo de interés que
aplica nuestra empresa para compensar los perjuicios ocasionados por el pago aplazado es del
1% simple semestral.
Nota: En cada caso, plantear la equivalencia financiera en el momento que vence el último
pago.
Solución a)
0 n
1.000.000 Cn
i 2 = 1%
Para facilitar los cálculos, en primer lugar transformamos el tipo de interés a anual:
i = (iK . k) = (0,01 . 2) = 0,02 = 2%
La cuantía del capital a pagar en el momento dos años sería:
Cnk = C0 . (1 + ik . n . k) = 1.000.000 . (1+0,02 . 2) = 1.040.000 euros
Solución b)
0 7m 10m
1.000.000 i2 = 1%
α α
} Prestación
} Contraprestación
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Planteando la equivalencia financiera en el momento 10 meses:
(Valor prestación en 10 meses) = (Valor contraprestación en 10 meses)
1.000.000 . (1 + 0,02 . 12
10 ) = (
α ) . (1 + 0,02 . 12
3 ) + (
α )
α = 507.065,66 euros
Solución c)
0 2a,3m 4a
1.000.000
i 2 = 1%
200.000 560.000 X
} Prestación
} Contraprestación
Planteando la equivalencia financiera:
1.000.000 . (1 + 0,02 . 4) = 200.000 . (1 + 0,02 . 4) + 560.000 . (1 + 0,02 . 12
21 ) + X
X = 1.080.000 - 216.000 - 579.600 = 284.400 euros
Ejercicio 6
A nuestra empresa un mismo cliente le adeuda 50.500 euros a pagar dentro seis meses, y
152.500 euros a pagar dentro de nueve meses. Se pide:
a) Cantidad que nos tendría que entregar hoy para cancelar ambas mediante un único pago
b) Sustituimos las dos deudas por tres pagos (de igual cuantía) con vencimientos a dos meses,
a siete meses y a diez meses (plantear la equivalencia en el momento 0)
Determinar el importe de los pagos en ambos casos suponiendo que el tipo de interés que
aplica nuestra empresa a sus deudores es del 8% simple anual.
Solución a)
0 6m 9m
C0 50.500 152.500
i = 8%
Debemos establecer la equivalencia financiera entre los dos capitales y el pago único hoy, es
decir, debemos hallar el valor descontado de los dos capitales:
C0 = 50.500
1 + 0,08 . 6
12
+ 152.500
1 + 0,08 . 9
12
= 192.425,61 euros
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(Valor prestación en 10 meses) = (Valor contraprestación en 10 meses)
1.000.000 . (1 + 0,02 . 12
10 ) = (
α ) . (1 + 0,02 . 12
3 ) + (
α )
α = 507.065,66 euros
Solución c)
0 2a,3m 4a
1.000.000
i 2 = 1%
200.000 560.000 X
} Prestación
} Contraprestación
Planteando la equivalencia financiera:
1.000.000 . (1 + 0,02 . 4) = 200.000 . (1 + 0,02 . 4) + 560.000 . (1 + 0,02 . 12
21 ) + X
X = 1.080.000 - 216.000 - 579.600 = 284.400 euros
Ejercicio 6
A nuestra empresa un mismo cliente le adeuda 50.500 euros a pagar dentro seis meses, y
152.500 euros a pagar dentro de nueve meses. Se pide:
a) Cantidad que nos tendría que entregar hoy para cancelar ambas mediante un único pago
b) Sustituimos las dos deudas por tres pagos (de igual cuantía) con vencimientos a dos meses,
a siete meses y a diez meses (plantear la equivalencia en el momento 0)
Determinar el importe de los pagos en ambos casos suponiendo que el tipo de interés que
aplica nuestra empresa a sus deudores es del 8% simple anual.
Solución a)
0 6m 9m
C0 50.500 152.500
i = 8%
Debemos establecer la equivalencia financiera entre los dos capitales y el pago único hoy, es
decir, debemos hallar el valor descontado de los dos capitales:
C0 = 50.500
1 + 0,08 . 6
12
+ 152.500
1 + 0,08 . 9
12
= 192.425,61 euros
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Solución b)
0 2m 6m 7m 9m 10m
50.500 152.500
i = 8%
α α
α
{
{
Prestación
Contraprestación
Debemos establecer la equivalencia financiera entre la nueva modalidad de pago y la anterior
en el momento 0. Es decir, ambas formas de pago deben tener el mismo valor descontado en
el momento 0:
50.500
1 + 0,08 . 6
12
+ 152.500
1 + 0,08 . 9
12
= α
1 + 0,08 . 2
12
+ α
1 + 0,08 . 7
12
+ α
1 + 0,08 . 10
12
192.425,59 = (α) . 2,879756
α = 66.820 euros
Ejercicio 7
Durante los dos últimos años, un cliente de nuestra entidad bancaria ha invertido su patrimonio
en tres fondos de inversión que generaron rentabilidades diferentes (todas se expresan en tipo
de interés simple anual). Invirtió 700.000 euros en el fondo EuroStock que generó un tipo de
interés del 8,25%, 950.000 euros en el fondo Renta Fija LatinoAmericana que generó un
interés del 7,5%, y 1.230.000 de euros en el fondo Países Emergentes, que genero un
9,45%.¿Cuál es la rentabilidad global que ha obtenido nuestro cliente durante estos dos años?
Solución
0 2
700.000 Cn
950.000 Cn
1.230.000 Cn
i = 8,25%
i = 9,45%
i = 7,5%
{ i r
Denotando por ir a la rentabilidad efectiva global de la inversión:
700.000 . (1 + 0,0825 . 2) + 950.000 . (1 + 0,075 . 2) + 1.230.000 . (1 + 0,0945 . 2) =
700.000 . (1 + ir . 2) + 950.000 . (1 + ir . 2) + 1.230.000 . (1 + ir . 2)
3.370.470 = 2.880.000 . (1 + ir . 2)
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0 2m 6m 7m 9m 10m
50.500 152.500
i = 8%
α α
α
{
{
Prestación
Contraprestación
Debemos establecer la equivalencia financiera entre la nueva modalidad de pago y la anterior
en el momento 0. Es decir, ambas formas de pago deben tener el mismo valor descontado en
el momento 0:
50.500
1 + 0,08 . 6
12
+ 152.500
1 + 0,08 . 9
12
= α
1 + 0,08 . 2
12
+ α
1 + 0,08 . 7
12
+ α
1 + 0,08 . 10
12
192.425,59 = (α) . 2,879756
α = 66.820 euros
Ejercicio 7
Durante los dos últimos años, un cliente de nuestra entidad bancaria ha invertido su patrimonio
en tres fondos de inversión que generaron rentabilidades diferentes (todas se expresan en tipo
de interés simple anual). Invirtió 700.000 euros en el fondo EuroStock que generó un tipo de
interés del 8,25%, 950.000 euros en el fondo Renta Fija LatinoAmericana que generó un
interés del 7,5%, y 1.230.000 de euros en el fondo Países Emergentes, que genero un
9,45%.¿Cuál es la rentabilidad global que ha obtenido nuestro cliente durante estos dos años?
Solución
0 2
700.000 Cn
950.000 Cn
1.230.000 Cn
i = 8,25%
i = 9,45%
i = 7,5%
{ i r
Denotando por ir a la rentabilidad efectiva global de la inversión:
700.000 . (1 + 0,0825 . 2) + 950.000 . (1 + 0,075 . 2) + 1.230.000 . (1 + 0,0945 . 2) =
700.000 . (1 + ir . 2) + 950.000 . (1 + ir . 2) + 1.230.000 . (1 + ir . 2)
3.370.470 = 2.880.000 . (1 + ir . 2)
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