{"id":438,"date":"2023-10-16T12:11:19","date_gmt":"2023-10-16T12:11:19","guid":{"rendered":"https:\/\/wuolah.com\/blog\/?p=438"},"modified":"2023-10-16T12:13:26","modified_gmt":"2023-10-16T12:13:26","slug":"teorema-de-tales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/wuolah.com\/blog\/teorema-de-tales\/","title":{"rendered":"Teorema de Tales: Qu\u00e9 es, formula y aplicaciones"},"content":{"rendered":"\n<p>El teorema de Tales es una de las bases fundamentales de la semejanza de tri\u00e1ngulos. Aunque es un concepto antiguo, su relevancia y aplicabilidad en la vida cotidiana y en diversas \u00e1reas de la matem\u00e1tica siguen siendo innegables. A continuaci\u00f3n, se presenta un an\u00e1lisis detallado de este teorema.<\/p>\n\n\n\n<div id=\"ez-toc-container\" class=\"ez-toc-v2_0_73 ez-toc-wrap-left counter-hierarchy ez-toc-counter ez-toc-custom ez-toc-container-direction\">\n<div class=\"ez-toc-title-container\">\n<p class=\"ez-toc-title\" style=\"cursor:inherit\">Tabla de contenidos<\/p>\n<span class=\"ez-toc-title-toggle\"><\/span><\/div>\n<nav><ul class='ez-toc-list ez-toc-list-level-1 ' ><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-1\" href=\"https:\/\/wuolah.com\/blog\/teorema-de-tales\/#%C2%BFQue_es_el_teorema_de_Tales\" title=\"\u00bfQu\u00e9 es el teorema de Tales?\">\u00bfQu\u00e9 es el teorema de Tales?<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-2\" href=\"https:\/\/wuolah.com\/blog\/teorema-de-tales\/#Formula_del_teorema_de_Tales\" title=\"F\u00f3rmula del teorema de Tales\">F\u00f3rmula del teorema de Tales<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-3\" href=\"https:\/\/wuolah.com\/blog\/teorema-de-tales\/#Primer_teorema_de_Tales\" title=\"Primer teorema de Tales\">Primer teorema de Tales<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-4\" href=\"https:\/\/wuolah.com\/blog\/teorema-de-tales\/#Segundo_teorema_de_Tales\" title=\"Segundo teorema de Tales\">Segundo teorema de Tales<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-5\" href=\"https:\/\/wuolah.com\/blog\/teorema-de-tales\/#Aplicaciones_del_teorema_de_Tales\" title=\"Aplicaciones del teorema de Tales\">Aplicaciones del teorema de Tales<\/a><\/li><li class='ez-toc-page-1 ez-toc-heading-level-2'><a class=\"ez-toc-link ez-toc-heading-6\" href=\"https:\/\/wuolah.com\/blog\/teorema-de-tales\/#Ejercicios_del_teorema_de_tales\" title=\"Ejercicios del teorema de tales\">Ejercicios del teorema de tales<\/a><\/li><\/ul><\/nav><\/div>\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-que-es-el-teorema-de-tales\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"%C2%BFQue_es_el_teorema_de_Tales\"><\/span>\u00bfQu\u00e9 es el teorema de Tales?<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>El teorema de Tales establece una relaci\u00f3n de proporcionalidad entre segmentos de rectas cortadas por l\u00edneas paralelas. Nombrado en honor a Tales de Mileto, un matem\u00e1tico y fil\u00f3sofo griego del siglo VI a.C.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<p>Para entenderlo en t\u00e9rminos simples, imagine dos rectas que son cortadas por un conjunto de rectas paralelas. Los segmentos que estas paralelas forman en una recta son proporcionales a los segmentos que forman en la otra recta. Es decir, las razones de los segmentos en una recta son iguales a las razones de los segmentos correspondientes en la otra recta.<\/p>\n\n\n\n<p>En el contexto de los tri\u00e1ngulos, el teorema de Tales se manifiesta cuando trazamos una l\u00ednea paralela a uno de los lados de un tri\u00e1ngulo, cortando los otros dos lados. Esta l\u00ednea divide los dos lados en segmentos que son proporcionales entre s\u00ed. Como resultado, obtenemos dos tri\u00e1ngulos que son semejantes, es decir, tienen la misma forma pero pueden diferir en tama\u00f1o.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-formula-del-teorema-de-tales\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Formula_del_teorema_de_Tales\"><\/span>F\u00f3rmula del teorema de Tales<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p>La esencia del teorema de Tales se basa en la proporcionalidad de segmentos cuando dos rectas son cortadas por rectas paralelas. Esta proporcionalidad se puede expresar matem\u00e1ticamente mediante una f\u00f3rmula que relaciona los segmentos.<\/p>\n\n\n\n<p>Supongamos que tenemos dos rectas <em>r<\/em> y <em>s<\/em> que son cortadas por dos rectas paralelas <em>a<\/em> y <em>b<\/em>. Estas paralelas dividen a <em>r<\/em> en los segmentos <em>A<\/em> y <em>B<\/em> y a <em>s<\/em> en los segmentos <em>A<\/em>\u2032 y <em>B<\/em>\u2032.<\/p>\n\n\n\n<p>La f\u00f3rmula del teorema de Tales establece que: <\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"100\" height=\"61\" src=\"https:\/\/wuolah.com\/blog\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2023\/10\/image.png\" alt=\"formula teorema de tales\" class=\"wp-image-440\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>\u200b<\/p>\n\n\n\n<p>Esto significa que la raz\u00f3n entre los segmentos en la recta <em>r<\/em> es igual a la raz\u00f3n entre los segmentos en la recta <em>s<\/em>.<\/p>\n\n\n\n<p>Para visualizarlo mejor, imagine un tri\u00e1ngulo ABC con una l\u00ednea paralela DE al lado AC, cortando AB en D y BC en E. Si aplicamos el teorema de Tales a este escenario, obtenemos:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" width=\"122\" height=\"52\" src=\"https:\/\/wuolah.com\/blog\/wp-content\/uploads\/sites\/2\/2023\/10\/image-1.png\" alt=\"formula teorema de tales\" class=\"wp-image-441\"\/><\/figure>\n\n\n\n<p>Esto indica que la raz\u00f3n de los segmentos en el lado AB es igual a la raz\u00f3n de los segmentos en el lado BC.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-primer-teorema-de-tales\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Primer_teorema_de_Tales\"><\/span>Primer teorema de Tales<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p>Si dos rectas cualesquiera son cortadas por un conjunto de rectas paralelas, entonces los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra recta.<\/p>\n\n\n\n<p>Un ejemplo cl\u00e1sico de la aplicaci\u00f3n del primer teorema de Tales es determinar la altura de un objeto inaccesible. Si se tiene un objeto de altura conocida y se mide la sombra que proyecta, y luego se mide la sombra de un objeto de altura desconocida (por ejemplo, un \u00e1rbol) bajo las mismas condiciones de iluminaci\u00f3n, se puede usar la proporcionalidad para determinar la altura del \u00e1rbol.<\/p>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-segundo-teorema-de-tales\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Segundo_teorema_de_Tales\"><\/span>Segundo teorema de Tales<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<p>Mientras que el primer teorema de Tales se centra en la proporcionalidad de segmentos en rectas cortadas por paralelas, el segundo teorema de Tales se enfoca en la relaci\u00f3n entre segmentos dentro de un tri\u00e1ngulo cuando una l\u00ednea corta dos de sus lados de manera paralela al tercer lado.<\/p>\n\n\n\n<blockquote class=\"wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow\">\n<p>Dentro de un tri\u00e1ngulo, si trazamos una l\u00ednea que es paralela a uno de sus lados y corta a los otros dos lados, entonces esta l\u00ednea divide esos dos lados en segmentos que son proporcionales.<\/p>\n<\/blockquote>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-aplicaciones-del-teorema-de-tales\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Aplicaciones_del_teorema_de_Tales\"><\/span>Aplicaciones del teorema de Tales<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Medici\u00f3n de distancias inaccesibles:<\/strong> Una de las aplicaciones hist\u00f3ricas m\u00e1s famosas del teorema de Tales es la medici\u00f3n de alturas de objetos inaccesibles.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Cartograf\u00eda y modelado:<\/strong> En cartograf\u00eda, se utiliza para mantener proporciones correctas al reducir o ampliar mapas.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Astronom\u00eda:<\/strong> En la antig\u00fcedad, el teorema de Tales se utilizaba para calcular distancias entre cuerpos celestes y la Tierra, bas\u00e1ndose en observaciones y mediciones angulares.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Dise\u00f1o gr\u00e1fico y arte:<\/strong> Los artistas y dise\u00f1adores gr\u00e1ficos utilizan el teorema de Tales para mantener las proporciones correctas al redimensionar im\u00e1genes o al crear perspectivas en sus obras.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Biolog\u00eda y medicina:<\/strong> En estudios de crecimiento y desarrollo, el teorema de Tales puede ayudar a predecir c\u00f3mo ciertas proporciones en organismos cambian a medida que crecen.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<h2 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-ejercicios-del-teorema-de-tales\"><span class=\"ez-toc-section\" id=\"Ejercicios_del_teorema_de_tales\"><\/span>Ejercicios del teorema de tales<span class=\"ez-toc-section-end\"><\/span><\/h2>\n\n\n\n<ol class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Ejercicio b\u00e1sico de proporcionalidad:<\/strong> Dado un tri\u00e1ngulo ABC, traza una l\u00ednea DE paralela al lado AC que corta AB en D y BC en E. Si AD = 4 cm, DB = 6 cm, y AE = 5 cm, encuentra la longitud de EC. <em>Soluci\u00f3n: 7,5cm.<\/em><\/li>\n\n\n\n<li><strong>Medici\u00f3n de alturas:<\/strong> Imagina que quieres determinar la altura de un \u00e1rbol. A las 12 del mediod\u00eda, una vara de 2 metros proyecta una sombra de 1 metro. Al mismo tiempo, el \u00e1rbol proyecta una sombra de 10 metros. \u00bfCu\u00e1l es la altura del \u00e1rbol? <em>Soluci\u00f3n = 20 metros.<\/em><\/li>\n\n\n\n<li><strong>Aplicaci\u00f3n en tri\u00e1ngulos:<\/strong> En un tri\u00e1ngulo ABC, se traza una l\u00ednea paralela al lado BC que corta a AB en D y a AC en E. Si AD\/DB = 2\/3 y AE = 6 cm, encuentra la longitud de EC. <em>Soluci\u00f3n = 9 cm<\/em>.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Desaf\u00edo de proporcionalidad:<\/strong> Dos rectas paralelas cortan las rectas l y m en los puntos A, B y A&#8217;, B&#8217; respectivamente. Si AB = 8 cm, A&#8217;B&#8217; = 12 cm, y la distancia entre las paralelas en l es de 5 cm, encuentra la distancia entre las paralelas en m. <em>Soluci\u00f3n = 7,5cm.<\/em><\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<h3 class=\"wp-block-heading\" id=\"h-extension-del-teorema-de-tales\">Extensi\u00f3n del teorema de Tales<\/h3>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li><strong>Figuras geom\u00e9tricas m\u00e1s complejas:<\/strong> Aunque se aplica com\u00fanmente a tri\u00e1ngulos, su principio de proporcionalidad tambi\u00e9n es v\u00e1lido para otras figuras, como trapecios y paralelogramos, siempre que se mantenga la condici\u00f3n de l\u00edneas paralelas.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Teorema de Tales en el espacio:<\/strong> El teorema puede extenderse a tres dimensiones. Por ejemplo, si un plano paralelo corta dos l\u00edneas no coplanares, los segmentos formados en una l\u00ednea son proporcionales a los segmentos en la otra l\u00ednea.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Aplicaci\u00f3n en c\u00f3nicas:<\/strong> En el estudio de las secciones c\u00f3nicas (elipses, par\u00e1bolas e hip\u00e9rbolas), puede utilizarse para probar propiedades y relaciones de semejanza entre diferentes secciones de una c\u00f3nica.<\/li>\n\n\n\n<li><strong>Teorema de Tales inverso:<\/strong> Concepto que se deriva del teorema original. Establece que si en dos rectas, los segmentos son proporcionales, entonces las l\u00edneas que conectan los puntos correspondientes son paralelas.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p><strong>Puntos clave<\/strong><\/p>\n\n\n\n<ul class=\"wp-block-list\">\n<li>Es fundamental para la semejanza de tri\u00e1ngulos.<\/li>\n\n\n\n<li>Establece la proporcionalidad de segmentos cuando son cortados por l\u00edneas paralelas.<\/li>\n\n\n\n<li>Tiene aplicaciones pr\u00e1cticas en la vida cotidiana y en la historia de la matem\u00e1tica.<\/li>\n\n\n\n<li>Se puede extender a otras figuras geom\u00e9tricas m\u00e1s all\u00e1 de los tri\u00e1ngulos.<\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El teorema de Tales es una de las bases fundamentales de la semejanza de tri\u00e1ngulos. Aunque es un concepto antiguo, su relevancia y aplicabilidad en la vida cotidiana y en diversas \u00e1reas de la matem\u00e1tica siguen siendo innegables. 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