P1. (2.5p) Sea un sistema formado por estos tres elementos:
- Una superficie esférica de radio R1 cargada uniformemente
con una densidad de carga 1.
- Una esfera hueca conductora, con carga Q, de radios interno
R2 y externo R3.
-Una superficie esférica de radio R4 cargada uniformemente
con una densidad de carga 4.
Los tres elementos son concéntricos, con centro el origen de
coordenadas.
a) Sabiendo que la densidad superficial de carga en la
superficie de radio R2 es 2= 6×10-9 C/m2 , calcular la carga
almacenada en la distribución superficial de radio R1.
b) Calcular la expresión general del vector campo eléctrico para cualquier punto del
eje X (x>0) Utiliza tantas regiones diferentes como sea necesario.
b) Sabiendo que el potencial eléctrico de cualquier punto de la superficie esférica de
radio R4 es 758.6 V, calcular el potencial eléctrico de la esfera conductora.
DATOS: R1= 20 cm; R2= 40 cm; R3= 70 cm; R4= 200 cm; 4= 3×10-9 C/m2 ;
Q=3×10-8 C
Solución:
a)
Aplicamos el teorema de Gauss para un punto interior de la esfera hueca conductora:
int
S o
Q
E dS

 =
siendo intQ la carga encerrada por la superficie gaussiana S que será una esfera
concéntrica con la distribución. Como el campo eléctrico dentro de la esfera conductora
es nulo (equilibrio electrostático) entonces
2 2int
int 1 1 2 20 0 4 4 0
o
Q Q R R
   

=  =  + =
Despejando 1

2
82
1 2 12 2
1
C
2.4 10 m
R
R
 
 −
= −  = − 
Luego la carga 1Q será
2 8
1 1 14 1.2 10 CQ R
  −
= = − 
R1 R2
R3
R4
Y
X
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b)
Para calcular el campo eléctrico en todos los puntos del espacio utilizaremos el teorema
de Gauss. Para ello, tomaremos una superficie gaussiana esférica de radio r concéntrica
con la distribución y que la haremos pasar por un punto P genérico donde queremos
determinar el campo eléctrico. La superficie gaussiana encerrará una carga intQ :
Por tanto, el módulo del campo eléctrico en el punto P a una distancia r del centro de la
distribución será
int
2
4 o
Q
E r

=
A partir de dicha expresión podremos obtener el vector intensidad de campo eléctrico en
cualquier punto del eje x en cada una de las siguientes zonas:
i) 10 r R 
Se trata del punto interior de un conductor en equilibrio electrostático, entonces
int 0 0Q E=  =
ii) 1 2R r R  , 2
int 1 14Q R
 =
2
1 1
2 2
108.5 N
Co
R
E E i
r x


=  = −
iii) 2 3R r R 
Se trata del punto interior de un conductor en equilibrio electrostático, entonces
int 0 0Q E=  =
iv) 3 4R r R  , 2
int 1 14Q R Q
 = +
2
1 12 2
1 161.28 N
4 Co
Q
E R E i
r x



 
= +  = 
 
2int int int int
4
S S S
o o o o
Q Q Q Q
E dS E dS E dS E r





 =  =  =  =  
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v) 3 4R r R  , 2 2
int 1 1 4 44 4Q R Q R
 
 = + +
2 2
1 1 4 42 2
1 1517.21 N
4 Co
Q
E R R E i
r x




 
= + +  = 
 
c)
3 3
4 4
3
3 4 3 4 3 42 24
161.28 161.28R R
R R
V V E dr V V dr V V dr
r r
− = −   − = −  = −  
Sustituyendo los valores numéricos de 3R y 4R y sabiendo que 4 758.6 VV = ,
obtenemos
3 908.36 VV =
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