Las potencias simplifican la multiplicación repetida de un número por sí mismo. En este artículo, exploraremos cuales son las propiedades de las potencias, qué son, y cómo estas propiedades pueden ser utilizadas para simplificar cálculos y resolver problemas de manera eficiente.

¿Qué es una potencia?

Una potencia es una expresión matemática que representa la multiplicación repetida de un mismo número, conocido como la base, tantas veces como lo indique otro número, llamado el exponente.

La potencia se escribe de forma compacta como aⁿ, donde a es la base y n es el exponente. Este formato nos dice que debemos multiplicar a por sí mismo n veces. Por ejemplo, 3⁴ indica que debemos multiplicar el número 3 por sí mismo 4 veces: 3×3×3×3, lo que resulta en 81.

¿Cuáles son las propiedades de las potencias?

Las propiedades de las potencias nos permiten manipularlas y simplificar expresiones complejas de manera eficiente. Estas propiedades son fundamentales para trabajar con operaciones matemáticas avanzadas.

Producto de potencias de la misma base

Cuando multiplicamos dos potencias que tienen la misma base, simplemente sumamos sus exponentes. La propiedad se expresa como a^m×aⁿ=a^m+n. Esto significa que si tenemos, por ejemplo, 2³×2⁴, podemos simplificarlo como 2³⁺⁴=2⁷.

Cociente de potencias de la misma base

Al dividir dos potencias con la misma base, restamos los exponentes. La fórmula es a^m/aⁿ=a^m−n, suponiendo que a ≠ 0. Por ejemplo, 2⁵/2²=2⁵⁻²=2³.

Potencias con exponente nulo

Cualquier número (excepto cero) elevado a la potencia de cero es igual a uno. Se representa como a⁰ = 1, donde a≠0. Esto se debe a la interpretación de la potenciación como multiplicación repetida; no multiplicar el número ninguna vez resulta en el elemento neutro de la multiplicación, que es uno.

Potencias de exponente negativo

Una potencia con un exponente negativo indica una operación de inversión y luego potenciación. Se define como a⁻ⁿ=1/aⁿ​, donde a≠0. Por ejemplo, 2⁻³=1/2³=1/8​.

Potencia de una potencia

Al elevar una potencia a otra potencia, multiplicamos los exponentes. Se formula como (a^m)ⁿ=a^m×n. Por ejemplo, (2³)²=2^3×2=2⁶.

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias. Esto se representa como (ab)ⁿ=aⁿ×bⁿ. Por ejemplo, (2×3)²=2²×3²=4×9=36.

Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias. Se expresa como (b/a​)ⁿ=aⁿ/bⁿ​, donde b≠0. Por ejemplo, (2/3)²=2²/3²=4/9​.

Tabla de Propiedades de las Potencias

Para consolidar nuestro entendimiento de las propiedades de las potencias, os dejamos esta tabla. sirve como una referencia rápida para recordar cómo manipular potencias bajo diferentes operaciones. A continuación, se presenta una tabla resumen con las propiedades más importantes de las potencias discutidas previamente:

Propiedad	Fórmula	Ejemplo
Producto de potencias (misma base)	am×an=am+n	23×24=23+4=27
Cociente de potencias (misma base)	am÷an=am−n	25÷22=25−2=23
Potencias con exponente nulo	a0=1	20=1
Potencias de exponente negativo	a−n=1/an	2−3=1/23=1/8
Potencia de una potencia	(am)n=am×n	(23)2=23×2=26
Potencia de un producto	(ab)n=an×bn	(2×3)2=22×32=4×9=36
Potencia de un cociente	(a​/b)n=an/bn​	(2/3)2=22/32=4/9