Teoría de Juegos: Estrategias y Soluciones

La teoría de juegos trata situaciones donde las decisiones de múltiples actores influyen en los resultados.

En las siguientes secciones, abordaremos preguntas como: ¿Qué es exactamente la teoría de juegos en matemáticas? ¿Cuál es su objetivo principal? ¿Cómo surgió y cuáles son sus conceptos fundamentales? Además, veremos las estrategias dominantes dentro de la teoría.

¿Qué es la teoría de juegos?

La teoría de juegos estudia interacciones estratégicas entre agentes (jugadores) cuyas decisiones afectan mutuamente sus resultados.

Dicho de una manera mas simple, la teoría de juegos se utiliza para analizar situaciones en las que la decisión de un jugador no solo depende de sus propias estrategias, sino también de las estrategias adoptadas por otros jugadores.

Utiliza modelos matemáticos para analizar las interacciones en juegos que van desde juegos simples hasta redes de interacción más complejas. Cada juego tiene reglas que incluyen jugadores, estrategias y resultados asociados. Destaca por su enfoque en la racionalidad y estrategia, asumiendo que los jugadores buscan maximizar su beneficio y tienen conocimientos sobre los demas jugadores. Este enfoque permite prever y explicar comportamientos en contextos competitivos y cooperativos.

Conceptos Fundamentales en la Teoría de Juegos

La teoría de juegos se construye sobre una serie de conceptos fundamentales que permiten analizar y comprender las interacciones estratégicas entre diferentes jugadores.

• Jugadores: Son los participantes en el juego. En la teoría de juegos, un jugador puede ser un individuo, una empresa, un país, o cualquier entidad que tome decisiones estratégicas.
• Estrategias: Representan los cursos de acción disponibles para los jugadores. Una estrategia puede ser simple, como decidir si participar o no, o compleja, con una serie de acciones que dependen de las circunstancias y de las acciones de otros jugadores.
• Pagos o Utilidades: Son los resultados asociados a las combinaciones de estrategias elegidas por los jugadores. Los pagos pueden representar beneficios, costos, satisfacción, o cualquier otra medida de interés para los jugadores.
• Juegos de Suma Cero y No Suma Cero: En los juegos de suma cero, el beneficio de un jugador es exactamente la pérdida del otro. En cambio, en los juegos no suma cero, es posible que todos los jugadores ganen o pierdan, reflejando situaciones más complejas y realistas.
• Equilibrio de Nash: Es una situación en la que ningún jugador puede mejorar su pago cambiando su estrategia mientras los otros jugadores mantienen las suyas. Este concepto es crucial porque representa una estabilidad en el juego: una vez alcanzado un equilibrio de Nash, ningún jugador tiene incentivos unilaterales para desviarse.
• Juegos Cooperativos y No Cooperativos: En los juegos cooperativos, los jugadores pueden formar coaliciones y acuerdos para mejorar sus pagos. En los juegos no cooperativos, cada jugador actúa de manera independiente sin formar alianzas.
• Juegos de Información Perfecta e Imperfecta: En los juegos de información perfecta, todos los jugadores conocen todas las acciones previas y sus posibles resultados. En los juegos de información imperfecta, existe cierta incertidumbre sobre las acciones de los otros jugadores o sobre el estado del juego.
• Juegos Estáticos y Dinámicos: Los juegos estáticos son aquellos en los que todas las decisiones se toman simultáneamente, o los jugadores no tienen información sobre las acciones de los otros antes de decidir. Los juegos dinámicos involucran una secuencia de decisiones a lo largo del tiempo, con posibles oportunidades para aprender y adaptarse a las acciones de los otros jugadores.

¿Cuál es el Objetivo Principal de la Teoría de Juegos?

El principal objetivo de la teoría de juegos es tratar de entender y predecir el comportamiento en situaciones estratégicas, donde las decisiones de un agente afectan y son afectadas por otros.

Sus objetivos incluyen modelar tomas de decisiones, analizar estrategias, prever resultados, optimizar decisiones y facilitar la resolución de conflictos. La teoría no solo se aplica en competiciones, sino también en buscar soluciones cooperativas. Sirve como herramienta para analizar desde negocios hasta relaciones sociales.

Origen de la teoría de juegos

La teoría de juegos se atribuye principalmente a dos eruditos: el matemático John von Neumann y el economista Oskar Morgenstern.

• John Von Neumann la exploró a través de análisis matemáticos de juegos como el póker y el ajedrez. Su interés en los juegos de estrategia lo llevó a analizar matemáticamente estos juegos, buscando estrategias óptimas y patrones de decisión.
• Oskar Morgenstern colaboró con von Neumann, resultando en el libro «Theory of Games and Economic Behavior» en 1944, que marcó el inicio oficial de la teoría de juegos. Este libro integró matemáticas, economía y psicología, proporcionando un marco matemático y dando origen al equilibrio de Nash.

Theory of Games and Economic Behavior

Este libro fue revolucionario por varias razones:

• Interdisciplinariedad: Integró conceptos de matemáticas, economía y psicología, estableciendo un nuevo paradigma para el análisis de decisiones en situaciones interactivas.
• Modelos Matemáticos: Proporcionó un marco matemático para analizar y predecir el comportamiento en juegos y situaciones estratégicas, incluyendo conceptos como el equilibrio de Nash, nombrado así por John Nash, quien más tarde expandió la teoría.

Estrategias Dominantes en la Teoría de Juegos

En la teoría de juegos, una estrategia dominante es aquella que resulta en el mejor resultado para un jugador, sin importar las estrategias elegidas por los otros jugadores.

• Estrategia dominante pura: Siempre produce el mejor resultado, independientemente de las elecciones de otros jugadores. Ejemplo: confesar en el Dilema del Prisionero.
• Estrategia dominante débil: Produce resultados al menos tan buenos como otras estrategias y es estrictamente mejor en al menos una situación.
• Estrategia dominada: Opuesta a la dominante; se elige siempre una estrategia mejor, sin importar las elecciones de otros jugadores.
• Eliminación de estrategias dominadas: Proceso para simplificar el análisis al descartar estrategias subóptimas de manera iterativa.
• Equilibrio de Nash y estrategias dominantes: En algunos juegos, todos los jugadores eligen estrategias dominantes para alcanzar un equilibrio de Nash. No todos los juegos tienen estrategias dominantes, y no todas llevan a un equilibrio de Nash.

¿Cómo se Resuelven los Juegos en Forma Normal y en Forma Extensiva?

La teoría de juegos presenta dos formas principales de representar juegos: la forma normal y la forma extensiva. Cada una ofrece un enfoque diferente para modelar y resolver juegos, adaptándose a distintos tipos de situaciones estratégicas.

Juegos en Forma Normal (o Forma Estratégica)

Un juego en forma normal se representa mediante una matriz que muestra los jugadores, sus estrategias disponibles, y los pagos correspondientes a cada combinación de estrategias. Es particularmente útil para analizar juegos estáticos donde todas las decisiones se toman simultáneamente.

Resolución de Juegos en Forma Normal:

• Identificación de Estrategias Dominantes: Como primer paso, se buscan estrategias dominantes que puedan simplificar el análisis eliminando estrategias dominadas.
• Análisis de Mejor Respuesta: Se analiza cuál sería la mejor respuesta de cada jugador ante las posibles estrategias de los otros jugadores.
• Búsqueda del Equilibrio de Nash: Se identifican los perfiles de estrategia donde cada estrategia es la mejor respuesta a las estrategias de los otros jugadores. Estos perfiles corresponden a los equilibrios de Nash del juego.

Juegos en Forma Extensiva

Los juegos en forma extensiva se representan mediante árboles de decisión que ilustran las secuencias de movimientos, las decisiones en diferentes puntos, y los pagos finales. Esta forma es adecuada para juegos dinámicos donde las decisiones se toman en diferentes momentos y puede haber información imperfecta.

Resolución de Juegos en Forma Extensiva:

• Análisis Hacia Atrás (Backward Induction): Para juegos con información perfecta, se utiliza el análisis hacia atrás, comenzando por el final del juego y determinando la mejor acción en cada punto de decisión.
• Equilibrios en Estrategias Perfectas en Subjuegos: En juegos más complejos, se buscan estrategias que constituyan un equilibrio de Nash en cada sub-juego del juego principal. Esto asegura que la estrategia es óptima no solo globalmente, sino también en cada etapa del juego.
• Incorporación de Información Imperfecta: En juegos con información imperfecta, se utilizan conceptos como conjuntos de información y creencias para analizar cómo las decisiones pueden variar en función de la información disponible para los jugadores en diferentes etapas del juego.